Abstract
Résumé
Soit
Δ
=
∑
m
=
0
∞
q
(
2
m
+
1
)
2
∈
F
2
[
[
q
]
]
la réduction modulo 2 de la fonction
Δ
. Une forme modulaire de niveau
1
,
f
=
∑
n
⩾
0
c
(
n
)
q
n
, à coefficients entiers, est congrue modulo
2
à un polynôme en
Δ
. Soit
W
f
(
x
)
=
∑
n
⩽
x
,
c
(
n
)
impair
1
le nombre de coefficients de Fourier impairs de
f
d’indice
⩽
x
. L’ordre de grandeur de
W
f
(
x
)
a été déterminé par Serre dans les années 70. Nous donnons ici un équivalent de
W
f
(
x
)
. Soit
p
(
n
)
la fonction de partition et
A
0
(
x
)
(resp.
A
1
(
x
)
) le nombre d’entiers
n
⩽
x
tels que
p
(
n
)
est pair (resp. impair). Dans des articles antérieurs, J.-L. Nicolas a montré que
A
0
(
x
)
⩾
0.28
x
log
log
x
pour
x
⩾
3
et que
A
1
(
x
)
>
4.57
x
log
x
pour
x
⩾
7
. On prouve ici que
A
0
(
x
)
⩾
0.069
x
log
log
x
pour
x
>
1
et que
A
1
(
x
)
⩾
0.037
x
(
log
x
)
7
/
8
pour
x
⩾
2
. Les principaux outils utilisés dans la preuve de ces résultats sont la détermination de l’ordre de nilpotence d’une forme modulaire de niveau 1 modulo 2, et de la structure de l’espace de ces formes modulaires en tant que module sur l’algèbre de Hecke, obtenus dans un travail récent de J.-L. Nicolas et J.-P. Serre.